ТЕОРЕМА О СУММЕ ПРИМИТИВНЫХ КОРНЕЙ, ВОЗВЕДЁННЫХ В СТЕПЕНЬ НАИБОЛЬШЕГО ПОЛНОГО КВАДРАТА, ДЕЛЯЩЕГО P-1

Аннотация

В работе изучается новая структурная связь между примитивными корнями по модулю простого числа  и наибольшим полным квадратом, входящим в разложение . Предлагается теорема, устанавливающая равенство суммы примитивных корней, возведённых в степень квадратной части , и функции  по модулю . Доказательство основано на применении функции Мёбиуса, циклотомических разложений и свойств циклических мультипликативных групп. На основе разложения  проводятся точные вычисления, связывающие сумму степеней генераторов с квадратсвободной и квадратной частями модуля. Полученная формула является мультипликативной по простым компонентам факторизации . Показано, что локальные слагаемые в сумме фиксируются исключительно чётностью степеней в разложении . Сопоставление с численными примерами подтверждает точность и универсальность результата на широком классе простых чисел. Представленная теорема расширяет теорию примитивных корней, вводя новую структурную инварианту для циклотомических сумм. Полученные результаты могут быть использованы в анализе спектральных характеристик мультипликативных групп, исследовании структурных свойств циклотомических алгебр и построении новых арифметических функций. В заключении обсуждаются возможные направления дальнейших исследований, включая связи с мультипликативными функциями Мёбиуса-типа и локальными факторизациями циклотомических выражений.